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2014 , Vol. 33 >Issue 8: 1417 - 1426

DOI: https://doi.org/10.11821/dlyj201408003

自适应的IDW插值方法及其在气温场中的应用

  • 段平 ,
  • 盛业华 ,
  • 李佳 ,
  • 吕海洋 ,
  • 张思阳
展开
  • 南京师范大学虚拟地理环境教育部重点实验室,南京 210032
通讯作者:盛业华(1965- ),男,安徽庐江人,教授,博士生导师,主要从事虚拟地理环境及空间数据插值方法研究。E-mail:

作者简介:段平(1984- ),男,湖北监利人,博士研究生,主要从事空间数据插值方法研究。

收稿日期: 2013-12-24

  要求修回日期: 2014-03-18

  网络出版日期: 2014-08-10

基金资助

国家自然科学基金项目(41271383)

江苏省普通高校研究生科研创新计划资助项目(CXLX13-376)

南京师范大学研究生科研创新计划资助项目(CXLX13-376)

收起

Adaptive IDW interpolation method and its application in the temperature field

  • DUAN Ping ,
  • SHENG Yehua ,
  • LI Jia ,
  • LV Haiyang ,
  • ZHANG Siyang
Expand
  • Key Laboratory of Virtual Geographic Environment, Ministry of Education, Nanjing Normal University, Nanjing 210023, China

Received date: 2013-12-24

  Request revised date: 2014-03-18

  Online published: 2014-08-10

Copyright

《地理研究》编辑部
Fold

摘要

反距离权重(Inverse Distance Weighting,IDW)插值通常采用距离搜索策略选择插值参考点,当采样点集分布不均匀时,距离搜索策略使得参考点聚集一侧影响插值精度。自然邻近关系具有良好的自适应分布特性,可有效地解决参考点分布不均匀问题。结合自然邻近关系,提出自适应的反距离权重(Adaptive-IDW,AIDW)插值方法。首先对采样数据构建初始Delaunay三角网,然后采用逐点插入法,将待插值点插入初始Delaunay三角网中,局部调整得到新的Delaunay三角网,以待插值点的一阶邻近点作为IDW插值的参考点,使参考点自适应均匀地分布在待插值点周围,再进行IDW插值计算。利用AIDW插值方法对Franke函数、全国气温观测数据进行插值实验,结果表明此方法具有较高的精度,且减少了“牛眼”现象。

关键词： IDW; Delaunay; 自然邻近; 插值; 气温

本文引用格式

段平 , 盛业华 , 李佳 , 吕海洋 , 张思阳 . 自适应的IDW插值方法及其在气温场中的应用[J]. 地理研究, 2014 , 33(8) : 1417 -1426 . DOI: 10.11821/dlyj201408003

Abstract

The Inverse Distance Weighting (IDW) interpolation has the advantage of simpleness, convenience for calculation, and high compatibility with Tobler's first law. It is widely used in construction of DEM, weather analysis, hydrological analysis, and so on. Distance search strategy is usually adopted by the IDW interpolation to select referent points. However, referent points gathering in one side may cause the loss of interpolation accuracy when sampling points are unevenly distributed. The natural adjacency spatial relationship with good adaptive characteristics about choosing referent points can effectively solve the problem of reference points’ uneven distribution. Based on this, the adaptive inverse distance weighting (AIDW) interpolation method was proposed in this paper. Firstly, the initial Delaunay triangulation was built with the sampling data points. Secondly, interpolative points were inserted one by one, the purpose of which was making the referent points evenly distributed around the interpolative points by taking the first-order neighboring of interpolative points as referent points. At last, IDW was interpolated. In step two, when each point was inserted, the Delaunay triangulation should be reconstructed, which elapseded time a lot. To solve this problem, the patial grid index was built in order to raise the speed of Delaunay triangulation's reconstruction. Compared with ordinary IDW, there was no need to assign the number of referent points or search radius in the AIDW, because the referent points could be adaptively selected with the natural adjacency spatial relationship of interpolative points. Especially when referent points were too intensive, the problem of superfluous points being inserted could be avoided. Two experiments were conducted in this paper, which were the theoretical surface reconstruction of the Franke and the national surface air temperature field reconstruction respectively. The results were compared with IDW interpolation methods with different search strategies in ArcGIS 10.1, which verify that the proposed method have higher accuracy. Meanwhile, the results of the proposed method show that the 'buphthalmos' phenomenon is reduced. All the outcomes indicate that the proposed method can be applied in the interpolation of geographical phenomenon as a new method.

Key words： IDW; Delaunay; natural neighbor; interpolation; temperature

1 引言

空间插值是根据有限采样点集S={(xi,fi),i=1, 2, 3, …, n}建立插值函数f:x→f(x),并将采样点集范围内的任意地理空间坐标xk代入f估算该点的某种属性值。常用的空间插值方法有IDW插值、多项式插值、克里金插值、样条函数插值等[1],其中IDW插值具有原理简单、计算方便而且符合地理学第一定律等优点,在DEM构建[2]、气象分析[3]、水文分析[4]等方面有着广泛的应用。Lu等提出了IDW插值的权重幂函数次数应该根据参考点的密度自适应变化以提高插值精度[5],但需要建立权重幂函数与点密度之间的模糊隶属函数,计算过程复杂。Rühaak提出了基于质量的IDW插值方法,该方法认为空间中的采样点具有不同的质量精度,根据每个观测站多次采样数据统计分析,进行数据质量可信度估计,对每个观测站的采样点赋予不同的精度质量权重,即在原始IDW插值的基础上增加一个数据质量的权重进行IDW插值[6]。然而采样数据的不可重复观测性使得该方法的实用性较差。史利民等在已知采样点上求取IDW插值函数的偏导数提高插值精度,即通过泰勒公式把插值函数进行展开,保留一次偏导项提高插值精度[7]。该方法是以计算时间换取计算精度,在数据量大时,计算速度受到限制。张锦明等分析了IDW的权重幂指数对插值结果的影响[8,9]。上述对IDW插值方法研究中主要集中在权函数的选取、权函数的幂次,在参考点选取策略上的研究相对较少,普遍采用如下二种方案:
(1)搜索半径固定。搜索半径固定以待插值点为圆心并设置一个固定的圆半径,以该圆作为搜索邻域,落在邻域内的采样点作为参考点。但半径大小的设定是悬而未定的问题,当参考点分布稠密时,通常导致邻域内的参考点过多,影响计算速度且过度平滑,当参考点分布稀疏时,导致参考点过少,影响插值精度[10]。
(2)参考点数固定。参考点数固定是指规定离待插值点最近的n个采样点作为IDW插值参考点,当采样分布不均匀时,导致参考点聚集一侧影响插值精度。为了解决数据点成堆状问题,经常采用方向法搜索参考点[11]。但是,由于限制各个方向内点的个数,使得离插值点较远的点可能被选作参考点,而离插值点较近的点被排除。假设规定每个方向内选取一个采样点作为参考点(图1a),四方向法会出现离插值点较近的采样点因为方向内点数限制被“淘汰”,虚线圆所包含的采样点为“淘汰”点,不作为参考点,离插值点较远的采样点作为插值参考点,实线圆应被排除,却选为参考点。这种搜索策略使参考点同样会聚集某一侧,引起IDW插值的“牛眼”现象。
Fig.1 The search strategy

图1 搜索策略

自然邻近关系是GIS中重要的空间关系,具有良好的自适应分布特征,可有效解决参考点分布不均匀问题。借鉴GIS空间关系中自然邻近关系,在待插值点周围选取一阶自然邻近点作为插值参考点,使参考点自适应、均匀地分布在待插值点周围,在此基础上进行IDW插值,即AIDW插值方法(图1b)。

2 AIDW插值方法

AIDW算法流程图如图2所示。首先对原始采样点集S采用逐点插入构建Delaunay三角网,在此基础上,通过对S的最小外包矩形等间距划分产生插值点,采用AIDW插值方法进行插值;插值后采用最大误差、最小误差、平均误差、均方根误差四个参数对AIDW进行误差统计分析,最后根据插值属性值进行分层彩色可视化显示。
Fig.2 Flow chart of the AIDW

图2 AIDW流程图

2.1 自适应选取参考点

Delaunay三角网具有灵活、易操作的计算特性。在Delaunay三角网的基础上,对于任何一个插值点,只需局部更新Delaunay三角网,自适应地选取插值点的一阶自然邻近点作为参考点进行IDW插值。不同的插值点,对应的一阶自然邻近点数目是不同的。
假设对原始采样数据构建Delaunay三角网,插入插值点p时,需要在已构 Delaunay三角网中依次遍历所有的三角形,查找包含点p的三角形,并进行局部Delaunay三角网的更新。当采样点多的情况下,原始三角网中的三角形数量较大,在查找包含点p的三角形中会出现时间复杂度高、计算量大。为了快速确定包含点p的三角形,采用空间规则格网索引技术,在每个格网中存储对应的三角形索引值,即首先将待插值地理空间剖分成规则的格网单元,用三角形的最小外包矩形(Minimum Bounding Rectangle,简称MBR)作为近似几何体在格网单元中记录在其范围内出现的三角形。如图3所示,如果点p出现在某个格网单元中,则包含点p的三角形必然被这个格网单元所记录,p点对应的格网11中存储了三角形t的编号9。在此基础上,查找插值点的一阶自然邻近点作为参考点。
Fig. 3 The regular grid index

图3 规则格网索引

如图4所示,红色点为不同的插值点I1、I2,通过上面建立的规则格网索引,在原始Delaunay三角网中查找包含红色插值点的三角形,局部更新包含红色插值点的Delaunay三角网,与红色插值点共点的各三角形顶点即为该点的一阶自然邻近点。图中局部放大区域中黑色点为不同红色插值点的一阶自然邻近点。由图4a中可知,红色点I1的一阶自然邻近点数为11。图4b中红色点I2的一阶自然邻近点为6,不同的插值点对应于不同的参考点数。在查找插值点的自然邻近点时,不需任何参数设置,完全自适应地确定插值参考点。而对于IDW插值方法,需要采用人工交互指定搜索半径固定或参考点数固定策略,而搜索圆半径或参考点的数目的固定,会导致参考点聚集一侧,插值出现“牛眼”,影响精度。本文的自适应搜索策略可以使参考点均匀分布,避免指定参考点数据或者是搜索圆半径。
Fig. 4 Selections of the first order natural neighbors

图4 自适应选取一阶自然邻近点

自适应选取一阶自然邻近点算法步骤如下:
Step1:对原始采样点集合进行等距离格网剖分,将剖分后的格网点集I={I1,I2, …, In}作为插值点;
Step2:当插值点Ii插入Delaunay三角网后,重新生成局部最优Delaunay三角网;
Step3:在新的Delaunay三角网中,查找与插值点共点的三角形,将这些三角形的点存储在数组中,剔除数组中重复元素和插值点,剔除后数组中的元素为一阶自然邻近点;
Step4:对集合I进行相同的操作,重复step2和step3,直到I为空。

2.2 AIDW插值及其实现

自适应选取一阶自然邻近算法选取插值参考点后,按IDW插值方法进行插值。
IDW插值是一种基于地理学第一定律的加权平均插值法。根据空间相关性,当两点(待插值点与采样点)之间距离越小,表示两点之间越相似,插值权重越大,反之亦然。设插值点p的空间坐标为(xp,yp),zp为待估算的属性值,邻域内的采样点为(xi,yi,zi),i=1, 2, 3, …, n,其中xi、yi表示采样点的坐标,zi为某一观测属性值。空间中任何一点的属性值zp是由邻域范围内参考点的属性值线性加权平均得到,计算方法为[12]:
式中:权重 ;r为权函数系数,实际插值中取r=2一般能得到较好结果[13];本文采用r=2。

3 实验验证

为验证AIDW方法的可行性与精度,分别对Franke函数和全国气温场进行插值实验。

3.1 Franke函数实验

以专门用于测试插值方法的Franke函数为对象,实验在相同的Matlab 2012b平台下,Franke函数为式(2)所示,曲面图如图5所示。
Fig.5 Franke surface

<![CDATA[(2)]]>

图5 Franke曲面

分别对AIDW插值、参考点固定IDW插值、半径固定的IDW插值及自然邻近插值(Natural Neighbor Interpolation,NNI),并从计算精度和时间两方面分析各种插值方法。在Franke函数区域Ω=[0,1] ×[0,1]内随机选取1000个点作为插值点,另外选取500、1000、2000、5000、10000、20000个不同的离散非均匀分布点作为已知采样点,其中点数固定搜索策略的IDW插值方法设置点数为8,半径固定搜索策略的IDW插值方法设置半径为0.05,在不同的已知采样点情况下,进行1000个插值点的实验。分别将四种插值方法估算的值与原始1000个Franke函数曲面真实值进行作差,计算误差,并以最大误差(εmax)、最小误差(εmin)、平均误差(εme)、均方根误差(εrmse)作为各种插值误差统计指标。四种插值方法的误差统计如表1~表6所示,其中包含计算时间Time列。
Tab. 1 Interpolation error statistics of 500 sampling points and 1000 interpolation points

表1 采样点为500、插值点为1000的插值误差统计

插值方法 εmax εmin εme εrmse 时间(s)
IDW/点数固定 1.0165E-01 -7.6662E-02 1.1487E-03 1.8337E-02 9.1131E-02
IDW/半径固定 1.1327E-01 -9.5031E-02 - - 5.9191E-02
NNI 8.5239E-02 -1.0396E-01 -1.1884E-03 1.1155E-02 1.3415E+00
AIDW 6.7655E-02 -6.2278E-02 1.0564E-04 1.2819E-02 1.4808E-01
Tab. 2 Interpolation error statistics of 1000 sampling points and 1000 interpolation points

表2 采样点为1000、插值点为1000的插值误差统计

插值方法 εmax εmin εme εrmse 时间(s)
IDW/点数固定 6.7154E-02 -5.2808E-02 8.7642E-04 1.1987E-02 1.2359E-01
IDW/半径固定 7.2202E-02 -6.4808E-02 - - 9.8902E-02
NNI 6.4723E-02 -8.3556E-02 -4.6503E-04 6.8004E-03 2.8475E+00
AIDW 3.8223E-02 -4.1399E-02 3.7022E-04 8.2223E-03 2.9629E-01
Tab. 3 Interpolation error statistics of 2000 sampling points and 1000 interpolation points

表3 采样点为2000、插值点为1000的插值误差统计

插值方法 εmax εmin εme εrmse 时间(s)
IDW/点数固定 4.7040E-02 -3.9979E-02 1.4654E-04 8.1831E-03 1.9661E-01
IDW/半径固定 4.4330E-02 -3.9197E-02 1.0089E-04 7.8569E-03 1.0591E-01
NNI 5.2840E-02 -6.7897E-02 -2.2281E-04 4.3300E-03 5.9657E+00
AIDW 2.5195E-02 -2.8181E-02 1.0064E-04 5.2229E-03 1.0079E-01
Tab. 4 Interpolation error statistics of 5000 sampling points and 1000 interpolation points

表4 采样点为5000、插值点为1000的插值误差统计

插值方法 εmax εmin εme εrmse 时间(s)
IDW/点数固定 2.9507E-02 -2.4713E-02 9.9800E-05 5.0458E-03 4.5276E-01
IDW/半径固定 3.1048E-02 -2.3046E-02 8.8139E-05 4.8384E-03 3.3553E-01
NNI 3.8267E-02 -3.5618E-02 -9.7021E-05 2.4240E-03 1.5587E+01
AIDW 1.7637E-02 -1.6134E-02 -1.4573E-07 3.0991E-03 2.0731E-01
Tab.5 Interpolation error statistics of 10000 sampling points and 1000 interpolation points

表5 采样点为10000、插值点为1000的插值误差统计

插值方法 εmax εmin εme εrmse 时间(s)
IDW/点数固定 2.0089E-02 -2.0537E-02 4.6727E-05 3.5117E-03 8.1887E-01
IDW/半径固定 2.4847E-02 -1.5791E-02 6.8011E-05 3.4972E-03 1.9138E-01
NNI 3.0395E-02 -7.8220E-03 -2.5906E-05 1.2156E-03 3.3864E+01
AIDW 1.1890E-02 -1.1242E-02 7.7898E-06 2.0983E-03 1.3803E-01
Tab. 6 Interpolation error statistics of 20000 sampling points and 1000 interpolation points

表6 采样点为20000、插值点为1000的插值误差统计

插值方法 εmax εmin εme εrmse 时间(s)
IDW/点数固定 1.2244E-02 -1.1579E-02 3.7575E-05 2.3602E-03 9.3095E-01
IDW/半径固定 2.1479E-02 -1.1672E-02 9.4939E-05 2.6900E-03 3.2508E-01
NNI 1.3414E-02 -4.2618E-02 -5.1863E-05 1.7519E-03 7.0862E+01
AIDW 8.8736E-03 -7.3645E-03 1.5984E-05 1.4228E-03 2.1341E-01
从表1~表6误差统计指标显示,无论在半径固定,还是在参考点固定的情况下,AIDW的四个误差统计指标εmax、εmin、εme、εrmse均优于两种不同搜索策略的IDW插值方法。表1和表2中出现的“-”情况是当半径固定时,在500、1000个数据点上出现部分点搜索不到参考点导致εme、εrmse无法完整计算。与NNI方法相比,AIDW在εmax、εmin、εme上优于NNI插值方法,主要原因是在插值边界处,自然邻近插值中Voronoi图是非闭合多边形,即使是闭合也是生成点集的MBR使其闭合,这样使得面积权重划分不均匀,从而导致插值点在边界处的误差较大。在 上,AIDW方法只有20000个参考点的情况下优于NNI。从时间上分析,AIDW明显优于NNI插值方法。在插值点数分别为500和1000时,AIDW方法不及半径固定的IDW;但是当点数大于1000以后,AIDW方法的效率明显都优于其他两种IDW插值方法。其主要原因是三角网构建中使用了格网索引,虽然在数据量较小时与不建立格网索引算法区别不大,但随着数据量的增加,格网索引在查找待插值点一阶自然邻近时发挥了优势,大大减少了计算时间。NNI插值算法时间效率很低,与以上三种IDW方法均不在一个数量级上。

3.2 全国气温场插值实验

对AIDW进行气温场实验,数据来源于中国气象科学数据网(http://cdc.cma.gov.cn/home.do),选取1981-2010年中国地面气候标准值年值数据累年年平均气温作为插值数据,对初始数据共927个观测站点进行预处理,剔除错误和相同坐标的数据34个,剩下893个点作为实验数据。Ishida等指出不考虑高程直接对气温进行插值是不准确的[14],需对不同高度的插值结果进行气温修正。因此采用ASTER网站(http://asterweb.jbl.nasa.gov/gdem.asp)提供的DEM(30 m×30 m),对数据进行修正,气温直减率0.6 oC/100 m[15]。如图6所示,数据呈非均匀分布。
Fig.6 Spatial distribution of the data

图6 数据空间分布

在Matlab 2012b平台上对AIDW方法进行实验,并与ArcGis 10.1平台下IDW插值方法和NNI进行对比。在ArcGis 10.1平台下,IDW插值方法有多种策略选择:① 默认参考点数范围为最小10个,最大15个的动态搜索策略(IDW-Default);② 四方向法中每个方向选择两个点(IDW-4/2);③ 八方向法中每个方向选择一个点(IDW-8/1);④ 八方向法中每个方向选择两个点(IDW-8/2)。采用交叉验证后 、 、 、 作为误差统计指标,其中交叉验证法采用pick-one-out[16],即每次假设一个采样点未知,将余下采样点通过某种插值方法进行估算,计算估算值与真实值误差,对每一个采样点进行相同的假设和插值估算。分析AIDW与ArcGis 10.1中各种搜索策略下IDW方法的误差统计。各插值方法的交叉验证误差统计如表7所示。
Tab.7 The error statistics of interpolation methods (oC)

表7 各种插值方法的误差统计(oC)

方法 εmax εmin εme εrmse
IDW-Default 3.8939E+00 -3.7626E+00 2.5680E-02 7.9266E-01
IDW-4/2 4.0916E+00 -3.7738E+00 1.5773E-02 7.6070E-01
IDW-8/1 3.9136E+00 -3.7762E+00 1.4010E-02 7.5865E-01
IDW-8/2 3.7270E+00 -3.6215E+00 1.5546E-02 7.6433E-01
NNI 4.2397E+00 -3.5932E+00 -7.3869E-03 7.4926E-01
AIDW 3.8492E+00 -3.8634E+00 9.3323E-03 7.5376E-01
从表7可见,AIDW方法仅在εmin指标上比其他搜索策略的IDW插值方法稍弱,但在εmax、εme、εrmse都是优于各种搜索策略的IDW插值方法,实际上εme和εrmse越趋近于0代表插值结果越可靠。分析可知,AIDW方法几个指标上优于ArcGis 10.1的各种搜索策略的IDW插值方法(图7)。与NNI插值方法相比,在εmin、εme、εrmse指标上稍优于AIDW方法,但在 不及AIDW方法。NNI插值方法中需要存储Voronoi图,存储结构复杂且计算耗时,在Franke函数模拟实验中已表明NNI插值算法比AIDW插值方法耗时许多,原因是NNI方法插值点需要重新划分权重面积,计算多个多边形的面积,影响了实际应用。图7显示了以上各种方法的插值结果,其中ArcGis 10.1的各种搜索策略IDW插值方法出现“牛眼”现象较为严重,而AIDW方法较好地克服了这种现象。
Fig. 7 Comparison of interpolation results

图7 各种插值方法比较

4 结论

通过分析IDW插值方法在参考点选取方面的不足,引入GIS中的自然邻近概念及其优点,采用待插值点的一阶自然邻近点作为参考点,与IDW结合提出了AIDW空间插值方法。
AIDW包括建立采样点的Delaunay三角网、查找一阶自然邻近点、IDW等过程。其中查找一阶自然邻近点最为耗时。研究采用空间规则格网索引和局部更新Delaunay三角网提高查找速度,以此为基础进行AIDW插值。
通过Franke数据和气温数据对AIDW插值方法进行实验,并与GIS商业软件ArcGis 10.1中各种搜索策略的IDW插值方法进行比较。通过时间效率和误差统计等方面进行分析表明AIDW插值计算精度优于ArcGis 10.1中的各种IDW插值方法,能较好减少“牛眼”现象;精度上更接近NNI插值方法,时间效率上优于NNI插值方法。
AIDW插值方法具有以下优点:① 插值过程中不需要指定任何参数点数目、搜索半径等参数,不需要人工交互,具有自适应确定参考点的优点;② 一阶自然邻近点数避免了参考点数目过多,减少了计算量。

The authors have declared that no competing interests exist.

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